9MEP: Calcul du rayon terrestre

Série "Il ne faut pas toujours croire ce qui est écrit, surtout quand on peut le vérifier".

Dans le cadre de l'option spécifique Maths et Physique, les élèves de 9VSB ont été amenés à calculer par eux-mêmes le rayon de la Terre.
Dans un premier temps, ils ont pu visionner une petite séquence vidéo présentant la démarche d'Erathostène, qui, au IIIe siècle avant J-C, avait déjà fait ce calcul.
Cependant, Erathostène vivait non loin du tropique du Cancer, latitude à laquelle, le jour du solstice d'été, les rayons du soleil sont parfaitement verticaux. Les élèves devaient donc trouver une autre méthode, utilisable à Yverdon.

Si les résultats individuels étaient assez éloignés, disons simplement que la moyenne des mesures de la classe était de 6'343 km, contre 6'378 km dans les Formulaires et tables officielles, soit une erreur d'à peine 0,5%.

Les page ci-dessous présentent quelques extraits des travaux des élèves (choix du maître, mais sans aucune correction).

But:	Calculer le rayon de la terre, avec des moyens sommaires
Matériel:	2 bâtons (n'importe quelle taille mais droit si possible) 2 double mètres 2 montres du soleil des correspondants à un autre point du globe assez éloigné et si possible sur le même méridien (c'est aussi possible s'ils sont sur un autre méridien mais c'est plus dur)
Postulats de départ (ne sont pas mis en doute):	La terre est ronde Les rayons du soleil sont parallèles en tout point du globe.
Ce qu'ont sait faire	Mesurer une distance sur la surface terrestre S'orienter (Nord-Sud-Est-Ouest) Dresser une carte (lieux et distances).

On ne connaît donc pas la latitude d'un lieu, mais on peut dire que 2 lieux sont sur une même longitude: partant de l'un en se dirigeant toujours au Nord, on atteint le second.

À son époque (IIIe siècle av. J.C.), Erathostène évalua la circonférence de la Terre d'une manière purement géométrique.

Il observa l'ombre de deux objets situés en deux lieux, Syène (aujourd'hui Assouan) et Alexandrie, le 21 juin (solstice d'été) au midi solaire local. C'est à ce moment précis de l'année que dans l'hémisphère nord le soleil détient la plus haute position au-dessus de l'horizon.

Or, Erathostène remarqua qu'il n'y avait aucune ombre dans un puits à Syène (ville située à peu près sur le tropique du Cancer); ainsi, à ce moment précis, le soleil était vertical et se rendait directement au fond du puits. Erathostène remarqua cependant qu'un obélisque d'Alexandrie formait une ombre; le soleil n'était donc plus à la verticale, et l'obélisque avait une ombre décentrée.

Par des calculs trigonométriques, Erathostène déduisit que l'angle entre les rayons solaires et la verticale était de 7,2 degrés.

Erathostène déduisit de tout cela que la Terre était ronde.

Erathostène approxima ensuite la distance entre Syène et Alexandrie en faisant appel à un bématiste (arpenteur de l'Égypte antique qui avait la charge de mesurer des distances en nombre de pas) qui se basa sur le temps en journées de marche de chameau entre les deux villes: la distance obtenue était de 5000 stades, soit 800 Km environ, mesure très proche de la réalité, un stade (longueur utilisée dans les stades d'Olympie ou de Delphes) valant environ 157,5 m.

Par ses calculs ((5000*157,5*360)/(7,2*1000)), il obtint que la circonférence de la terre était de 39 375 Km, mesure extraordinairement juste pour l'époque.

Pour calculer la circonférence de la terre nous allons, à peu de choses près, imiter Eratosthène.

Préparation du calcul

Deux groupes, situés l'un à Yverdon (nous) et l'autre à Düsseldorf ont posé un bâton rectiligne perpendiculairement au sol, et ont mesuré l'ombre régulièrement. Au moment où l'ombre est la plus courte, c'est le midi solaire ou aussi appelé Zénith.

Sachant qu'Yverdon et Düsseldorf sont sur le même méridien terrestre et sachant aussi la longueur du bâton, nous allons calculer la circonférence de la terre.

Méthode de calcul:

Mesurer l'angle que forme le bâton avec les rayons du soleil. On y arrive par un calcul de trigonométrie car on connaît la mesure de l'ombre et du
bâton. Schéma ci-dessous.
Le groupe de Düsseldorf aura aussi trouvé un résultat, ensuite il faut soustraire le plus petit au plus grand.
On divise maintenant 360 par le résultat obtenu en 2)
Il nous reste plus qu'à multiplier le résultat obtenu en 3) par la distance qui sépare les deux villes et nous avons notre résultat final.

La longueur de notre bâton est de 83 cm.

Heure	Longueur ombre [cm]
13h13	83.8
13h16	83.4
13h19	83.0
13h22	82.8	midi solaire
13h25	82.0	midi solaire
13h28	83.0
13h31	83.5

Si ß est l'inconnue et que nous connaissons la longueur du bâton (83cm) et l'ombre portée (83cm). Nous pouvons donc calculer ß de la manière suivante: Tangente =opposé / adjacent.
La moyenne de nos angles donne 45,79°.

L'angle obtenu par Düsseldorf est de 49,33°. Nous pouvons donc observer une différence de 3,54°. La distance Yverdon - Düsseldorf est de 502 km.

(502 km/3,54°) x 360° = 51 '050 km

Ensuite, pour obtenir le rayon il nous suffit de faire circonférence de la terre divisé par Pi/2.
Le rayon, d'après nos calculs, est de 8'124.99 km.

Incertitude

Nous avions une incertitude de 0,3 centimètres sur l'ombre portée. Nous allons donc effectuer les calculs avec les 2 extrêmes.

Mesures maximum: ombre = 83.3 cm. Nous obtenons un angle de 45.10 °.
Ensuite nous avons une différence de 4,23°.
Cela nous donne une circonférence de 42'723 km donc un rayon de 6'800 km
Mesures minimum: ombre = 82,7 cm. Nous obtenons un angle de 44.89°
Ensuite nous avons une différence de 4,44°.
Cela nous donne une circonférence de 40'702 km donc un rayon de 6'478 km.

Connaissant la dimension "officielle" du rayon terrestre qui est de 6'378 km, notre erreur relative est de:

(6'478 - 6'378) / 6'400 = 0.016 soit 1,6% d'erreur relative